二項分布の期待値\( E[X] \)と分散\( V[X] \)の導出

数学

確率変数\( X\)が二項分布に従う時の期待値\( E(X)\)と分散\( V(X)\)を導出します。
期待値と分散の計算の途中で, \( (x+y)^{n-1}, (x+y)^{n-2} \)の展開を利用するので、先に紹介しておきます。

基本の形 \( (x+y)^n \)の展開
\begin{align*}
(x+y)^n & = \sum_{k=0}^{n} \ _{n}C_{k}x^{k}y^{n-k} \\
\end{align*}

上記の式から\( (x+y)^{n-1} \)の展開を記しておきます。
また、今回利用している形に変形をしておきます。

\( (x+y)^{n-1} \)の展開
\begin{align*}
(x+y)^{n-1} & = \sum_{k=0}^{n-1} \ _{n-1}C_{k}x^{k}y^{(n-1)-k} \\
& = \sum_{k=1}^{n} \ _{n-1}C_{k-1}x^{k-1}y^{(n-1)-(k-1)} \tag{1}
\end{align*}

同様に, \( (x+y)^{n-2} \)の展開を記しておきます。
また、今回利用している形に変形をしておきます。

\( (x+y)^{n-2} \)の展開
\begin{align*}
(x+y)^{n-2} & = \sum_{k=0}^{n-2} \ _{n-2}C_{k}x^{k}y^{(n-2)-k} \\
& = \sum_{k=2}^{n} \ _{n-2}C_{k-2}x^{k}y^{(n-2)-(k-2)} \tag{2}
\end{align*}
\( X  \mbox{~} Bin(n, p) \)のとき, \( X \)の確率分布は次のように表せる。
$$ P(X=k) = {}_{n}C_{k}p^k(1-p)^{n-k}$$
期待値に関しては, 定義通り計算していきます。
\begin{align*}
E[X] & = \sum_{k=0}^{n}kP(X=k) \\
& = \sum_{k=1}^{n}kP(X=k) \\
& = \sum_{k=1}^{n}k \ _{n}C_{k}p^k(1-p)^{n-k} \\
& = \sum_{k=1}^{n}k \dfrac{n!}{(n-k)!k!}p^k(1-p)^{n-k} \\
& = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{n!}{(n-k)!(k-1)!}p^k(1-p)^{n-k} \\
& = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{n \times (n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}p \times p^{k-1}(1-p)^{n-k} \\
& = np \sum_{k=1}^{n} \dfrac{(n-1)!}{((n-1)-(k-1))!(k-1)!}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)} \\
& = np \sum_{k=1}^{n} {}_{n-1}C_{k-1}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)} \\
& = np((p+(1-p))^{n-1}) \ \ \ \ \mbox{∵(1)}\\
& = np(1)^{n-1} \\
& = np
\end{align*}
分散に関しては, \( V[X] = E[X^2] \ – E[X]^2\)を用いて計算をします。
こちらの記事で証明しています。)
よって, \( E[X^2] \)を計算していきます。
\begin{align*}
E[X^2] & = \sum_{k=0}^{n} k^{2}P(X=k) \\
& = \sum_{k=0}^{n}k^2P(X=k) \\
& = \sum_{k=0}^{n}k(k-1)P(X=k) +kP(X=k) \\
& = \sum_{k=0}^{n}k(k-1)P(X=k) + \sum_{k=0}^{n}kP(X=k) \\
& = \sum_{k=2}^{n}k(k-1)P(X=k) + E[X] \\
& = \sum_{k=2}^{n}k(k-1) \dfrac{n!}{(n-k)!k!} + np \\
& = \sum_{k=2}^{n} \dfrac{n!}{(n-k)!(k-2)!}p^k(1-p)^{n-k} + np \\
& = \sum_{k=2}^{n} \dfrac{n \times (n-1) \times (n-2)!}{(n-k)!(k-2)!}p^2 \times p^{k-2}(1-p)^{n-k} + np \\
& = n(n-1)p^2\sum_{k=2}^{n} \dfrac{(n-2)!}{(n-k)!(k-2)!}p^{k-2}(1-p)^{n-k} + np \\
& = n(n-1)p^2\sum_{k=2}^{n} {}_{n-2}C_{k-2} p^{k-2}(1-p)^{n-k} + np \\
& = n(n-1)p^2 (p+(1-p))^{n-2} + np \ \ \ \ \mbox{∵(2)}\\
& = n(n-1)p^2 + np \\
\end{align*}
\( E[X^2] \)が求まりました。では, \( V[X]\)を求めます。
\begin{align*}
V[X] & = E[X^2] – E[X]^2 \\
& = n(n-1)p^2 + np – (np)^2 \\
& = n^2p^2 – np^2 +np – n^2p^2 \\
& = np(1-p)
\end{align*}
分散の導出が完了しました。最後に結果をまとめておきます。
\( X  \mbox{~} Bin(n, p) \)のとき,
\begin{align*}
E[X] & = np \\
V[X] & = np(1-p)
\end{align*}
動画でも解説しています↓↓

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