確率変数\( X\)がポアソン分布に従う時の期待値\( E(X)\)と分散\( V(X)\)を導出します。
\( X \sim P_O( \lambda) \)のとき, \( X \)の確率分布は次のように表せます。
$$ P(X=k) = e^{-\lambda}\frac{{\lambda}^k}{k!}$$
$$ P(X=k) = e^{-\lambda}\frac{{\lambda}^k}{k!}$$
期待値を計算していきます。
\begin{align*}
E[X] & = \sum_{k=0}^{\infty}kP(X=k) \\
& = \sum_{k=1}^{\infty}ke^{-\lambda}\frac{{\lambda}^k}{k!} \\
& = \sum_{k=1}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{{\lambda}^k}{(k-1)!} \\
& = {\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{{\lambda}^{k}}{k!} \\
& = {\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}P(X=k) \\
& = {\lambda}\cdot 1 \\
& = {\lambda} \\
\end{align*}
E[X] & = \sum_{k=0}^{\infty}kP(X=k) \\
& = \sum_{k=1}^{\infty}ke^{-\lambda}\frac{{\lambda}^k}{k!} \\
& = \sum_{k=1}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{{\lambda}^k}{(k-1)!} \\
& = {\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{{\lambda}^{k}}{k!} \\
& = {\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}P(X=k) \\
& = {\lambda}\cdot 1 \\
& = {\lambda} \\
\end{align*}
分散に関しては, \( V[X] = E[X^2] \ – E[X]^2\)を用いて計算をします。
（こちらの記事で証明しています。）
（こちらの記事で証明しています。）
よって, \( E[X^2] \)を計算していきます。
\begin{align*}
E[X] & = \sum_{k=0}^{\infty}k^2P(X=k) \\
& = \sum_{k=0}^{\infty} \left[ k(k-1)P(X=k)+ kP(X=k) \right] \\
& = \sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)P(X=k)+\sum_{k=0}^{\infty}kP(X=k) \\
& = \sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)e^{-\lambda}\frac{{\lambda}^k}{k!}+E[X] \\
& = \sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)e^{-\lambda}\frac{{\lambda}^k}{k!}+\lambda \\
& = \sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{{\lambda}^{k+2}}{k!}+\lambda \\
& = {\lambda}^2\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{{\lambda}^k}{k!}+\lambda \\
& = {\lambda}^2\sum_{k=0}^{\infty}P(X=k)+\lambda \\
& = {\lambda}^2\cdot 1 +\lambda \\
& = {\lambda}^2 +\lambda \\
\end{align*}
E[X] & = \sum_{k=0}^{\infty}k^2P(X=k) \\
& = \sum_{k=0}^{\infty} \left[ k(k-1)P(X=k)+ kP(X=k) \right] \\
& = \sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)P(X=k)+\sum_{k=0}^{\infty}kP(X=k) \\
& = \sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)e^{-\lambda}\frac{{\lambda}^k}{k!}+E[X] \\
& = \sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)e^{-\lambda}\frac{{\lambda}^k}{k!}+\lambda \\
& = \sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{{\lambda}^{k+2}}{k!}+\lambda \\
& = {\lambda}^2\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{{\lambda}^k}{k!}+\lambda \\
& = {\lambda}^2\sum_{k=0}^{\infty}P(X=k)+\lambda \\
& = {\lambda}^2\cdot 1 +\lambda \\
& = {\lambda}^2 +\lambda \\
\end{align*}
では, \( V[X]=E[X^2]-E[X]^2\)を用いてV[X]を計算します。
\begin{align*}
V[X] & = E[X^2]-E[X]^2 \\
& = {\lambda}^2 + {\lambda} \ – {\lambda}^2 \\
& = \lambda
\end{align*}
V[X] & = E[X^2]-E[X]^2 \\
& = {\lambda}^2 + {\lambda} \ – {\lambda}^2 \\
& = \lambda
\end{align*}
分散の導出が完了しました。最後に結果をまとめておきます。
\( X \sim P_O(\lambda) \)のとき,
\begin{align*}
E[X] & = \lambda \\
V[X] & = \lambda
\end{align*}
\begin{align*}
E[X] & = \lambda \\
V[X] & = \lambda
\end{align*}
動画でも解説しています↓↓
コメント