\( V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2Cov[X,Y] \)の導出をしていきます。
準備
\( X, \ Y \) : 確率変数
\( {\mu}_X \) : \( X \)の期待値
\( {\mu}_Y \) : \( Y \)の期待値
\( X, \ Y \) : 確率変数
\( {\mu}_X \) : \( X \)の期待値
\( {\mu}_Y \) : \( Y \)の期待値
分散の定義
$$ V[X]:=E[(X-{\mu}_X)^2] $$
$$ V[X]:=E[(X-{\mu}_X)^2] $$
共分散の定義
$$ Cov[X,Y]:=E[(X-{\mu}_X)(Y-{\mu}_Y)] $$
$$ Cov[X,Y]:=E[(X-{\mu}_X)(Y-{\mu}_Y)] $$
では、証明していきます。
\begin{align*}
& V[X+Y] \\
& = E[((X+Y)-({\mu}_X+{\mu}_Y))^2] \\
& = E[((X-{\mu}_X)+(Y-{\mu}_Y))^2] \\
& = E[(X-{\mu}_X)^2+(Y-{\mu}_Y)^2+2(X-{\mu}_X)(Y-{\mu}_Y)] \\
& = E[(X-{\mu}_X)^2]+E[(Y-{\mu}_Y)^2]+2E[(X-{\mu}_X)(Y-{\mu}_Y)] \\
& = V[X]+V[Y]+2Cov[X,Y]
\end{align*}
動画でも解説をしています。↓↓
https://www.youtube.com/watch?v=7UbkxmLE2H8
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