標本分散ではなく不偏分散を利用する理由

母分散が未知のときに不偏分散を利用します。なぜ、標本分散ではなく不偏分散を利用するのかということを記述していきます。

では, \( E[s^2]\)を確認してみます。
\begin{align*}
E \left[ s^2 \right] & = E \left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i – \hat{X})^2 \right] \\
& = \frac{1}{n} E \left[ \sum_{i=1}^{n} \left\{ (X_i – \mu) \ – (\bar{X} – \mu ) \right\} ^2 \right] \\
& = \frac{1}{n} E \left[ \sum_{i=1}^{n} \left\{ (X_i – \mu)^2 \ -2(X_i – \mu)(\bar{X} – \mu) + ( \bar{X} – \mu )^2 \right\} \right] \\
& = \frac{1}{n} E \left[ \sum_{i=1}^{n} (X_i – \mu)^2 -2(\bar{X} – \mu) \sum_{i=1}^{n}(X_i – \mu) + n( \bar{X} – \mu )^2 \right] \\
& = \frac{1}{n} E \left[ \sum_{i=1}^{n} (X_i – \mu)^2 -2n(\bar{X} – \mu)^2 + n( \bar{X} – \mu )^2 \right] \\
& = \frac{1}{n} E \left[ \sum_{i=1}^{n} (X_i – \mu)^2 -n(\bar{X} – \mu)^2 \right] \\
& = \frac{1}{n} \left\{ E \left[ \sum_{i=1}^{n} (X_i – \mu)^2 \right] -nE \left[ (\bar{X} – \mu)^2 \right] \right\} \\
& = \frac{1}{n} \left\{ \sum_{i=1}^{n} E\left[(X_i – \mu)^2 \right] -nE\left[(\bar{X}-\mu)^2 \right] \right\} \\
& = \frac{1}{n} \left\{ \sum_{i=1}^{n} V\left[X_i \right] -nV\left[\bar{X} \right] \right\} \\
& = \frac{1}{n} \left\{ \sum_{i=1}^{n} {\sigma}^2 -n \cdot \frac{1}{n} {\sigma}^2 \right\} \\
& = \frac{1}{n} \left( n{\sigma}^2 – {\sigma}^2 \right) \\
& = \frac{n-1}{n} {\sigma}^2\\
\end{align*}

したがって,\( s^2 \)は, 不偏推定量ではない。

\( E[s^2] = \frac{n-1}{n} {\sigma}^2 \)を変形し, 不偏推定量となるものを求める。
\begin{align*}
E \left[ s^2 \right] & = \frac{n-1}{n} {\sigma}^2 \\
\frac{n}{n-1} E \left[ s^2 \right] & = {\sigma}^2 \\
E \left[ \frac{n}{n-1} s^2 \right] & = {\sigma}^2 \\
E \left[ \frac{n}{n-1} \cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( X_i – \bar{X} \right)^2 \right] & = {\sigma}^2 \\
E \left[ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \left( X_i – \bar{X} \right)^2 \right] & = {\sigma}^2 \\
E \left[ u^2 \right] & = {\sigma}^2
\end{align*}

よって, \( u^2 \)の期待値は \( {\sigma}^2 \)となります。

\( u^2 \)が分散の不偏推定量となります。