分散を計算するときに, 利用されることの多い下記の性質を証明していきます。
$$ V[X] = E[X^2] – E[X]^2 $$
分散の定義
$$ V[X] := E[(X-E[X])^2] $$
$$ V[X] := E[(X-E[X])^2] $$
では、証明していきます。
\begin{align*}
V[X] & = E[(X-E[X])^2] \\
& = E[X^2-2XE[X]+E[X]^2] \\
& = E[X^2]-2E[X]E[E[X]]+E[E[X]^2] \ \ \ \ \mbox{(∵期待値の線形性)}\\
& = E[X^2]-2E[X]E[X]+E[X]^2 \ \ \ \ \mbox{(∵}E[X]\mbox{は定数)} \\
& = E[X^2]-2E[X]^2+E[X]^2 \\
& = E[X^2]-E[X]^2
\end{align*}
V[X] & = E[(X-E[X])^2] \\
& = E[X^2-2XE[X]+E[X]^2] \\
& = E[X^2]-2E[X]E[E[X]]+E[E[X]^2] \ \ \ \ \mbox{(∵期待値の線形性)}\\
& = E[X^2]-2E[X]E[X]+E[X]^2 \ \ \ \ \mbox{(∵}E[X]\mbox{は定数)} \\
& = E[X^2]-2E[X]^2+E[X]^2 \\
& = E[X^2]-E[X]^2
\end{align*}
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